As duas formas – molho e molhe – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações até porque “molho” e “molhe” podem ser substantivos ou formas verbais do verbo molhar.
como substantivos
Molho tem duas definições possíveis:
a) caldo temperado para acompanhamento de alimentos ou para refogar iguarias
Tenha sempre este molho de tomate pronto, para uma refeição rápida.
b) conjunto ou coletivo de coisas semelhantes unidas ou atadas; monte de; feixe
Perder um molho de chaves, documentos ou outros objetos pessoais significa stress.
Molhe significa cais onde se pode atracar uma embarcação; paredão; quebra-mar.
Junto ao areal, há um novo molhe que defende a petiscaria regional.
como formas verbais
Molho é uma forma verbal do verbo molhar, nomeadamente a primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo.
eu [ molho ]
Molho os pés na água do mar.
Eu molho a pena e escrevo os meus sonetos.
Molhe é uma forma verbal do verbo molhar, nomeadamente a primeira e terceira pessoa do singular do presente do subjuntivo e a terceira pessoa do singular do imperativo do verbo.
que eu [ molhe ], que ele; ela; você [ molhe ], [ molhe ] ele; ela; você
Não é necessário que você molhe os dedos para folhear pilhas de papéis.
Referências
Molho advém do latim manuculus ou manuclus.
Molhe advém do catalão moll.