As duas formas permanecesse e permanece-se existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo permanecer mas empregues em diferentes pessoas gramaticais/tempos verbais; com distintas pronúncias.
Permanecesse é a primeira e terceira pessoa do singular do pretérito imperfeito do modo subjuntivo do verbo.
se eu [ permanecesse ], se ele; ela; você [ permanecesse ]
Se ele permanecesse em silêncio, eles o acusariam de covardia.
Capitão, acredito que seria melhor para todos se eu permanecesse a bordo.
Ansiosos por ouvir mais, suplicaram-Lhe que permanecesse com eles.
Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas
A forma permanece-se, com hífen, é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “se”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica, no caso ele, ela ou você.
Permanece-se quieto e ainda assim alcança-se o seu objetivo.
Permanece-se no local… até que nos chamem.