As duas formas – permitisse e permite-se – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo permitir mas empregues em diferentes modos.

Permitisse é a primeira e terceira pessoa do singular do pretérito imperfeito do modo subjuntivo do verbo.

se eu [ permitisse ], se ele; ela; você [ permitisse ]

Eu esperava… que você me permitisse ficar.
Qualquer pessoa faria o mesmo se ela permitisse.

Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas

A forma permite-se, com hífen, é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “se”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica, no caso ele, ela ou você.

A ele permite-se tudo.
Permite-se que sejam feitas aberturas para luz ou ventilação.