As duas formas – pior e piore – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Pior, como adjetivo, é o comparativo superior de mau; o mais mau.
É o pior argumento que ouvi nos últimos tempos.
Foi eleita a pior companhia aérea a servir o Reino Unido.
Como advérbio significa é o comparativo de mau; mais mal.
Esse é pior que este.
A investigação que se faz cá não é pior do que a que se faz nos EUA.
Como substantivo significa o que é inferior a tudo o mais; o que é mais inconveniente ou insensato que outras coisas.
Isto é o pior que lhe podia acontecer.
De todas as possibilidades, escolheu a pior!
Piore é uma forma verbal do verbo piorar, nomeadamente a primeira e terceira pessoa do singular do presente do modo subjuntivo e a terceira pessoa do singular do imperativo do verbo.
que eu [ piore ], que ele; ela; você [ piore ]; [ piore ] ele; ela; você
Espero que a avó não piore.
É provável que a situação piore antes de vermos a luz ao fundo do túnel.
Referências
Pior advém do latim pejore.
Piore advém do verbo piorar.