As duas formas principio e princípio estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Principio, sem acento gráfico, é uma flexão do verbo principiar – primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo.
eu [ principio ]
Sendo assim eu principio o jogo.
Eu principio felicitando o governador por este projeto.
Principio por te dar os parabéns.
Tem o sentido de dar início a; começar; iniciar.
Princípio, com acento agudo no segundo “i”, é um substantivo – significa o que vem primeiro, origem, início, começo; a essência, o fundamento de algo; regra, norma de conduta, seja uma máxima, lei ou regra moral.
A princípio, eu própria tive reservas.
Estava melhor no princípio da noite.
Eu tenho princípios, eles não.
Referências
Principio advém do verbo principiar.
Princípio advém do latim principium.