As duas formas protegesse e protege-se existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo proteger mas empregues em diferentes pessoas gramaticais/tempos verbais.
Protegesse é a primeira e terceira pessoa do singular do pretérito imperfeito do modo subjuntivo do verbo.
se eu [ protegesse ], se ele; ela; você [ protegesse ]
Se eu protegesse e ensinasse a criança, ela viveria segura.
Me pediram que protegesse o garoto.
É como se ele nos protegesse.
Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas
A forma protege-se, com hífen, é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “se”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica, no caso ele, ela ou você.
Ele protege-se dentro de um mundo de sonhos.
A mente protege-se contra o que não quer sabe.