As duas formas – quer e quiser – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo querer, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Quer é uma forma verbal do verbo querer, nomeadamente a terceira pessoa singular do presente do indicativo do verbo.
ele; ela; você [ quer ]
Ela quer um rapaz, ele uma rapariga!
O que você quer para sua vida?
Obs:
presente do indicativo = referente ao presente, que está ocorrendo no momento ou que não dependem de um tempo específico
Nota:
A palavra “quer” é também usada como conjunção com o sentido de ou:
Quer gostes, quer não, vais ter de estudar.
Quiser é uma forma verbal do verbo querer, nomeadamente a primeira e terceira pessoa do singular do futuro do subjuntivo do verbo.
quando eu [ quiser ], quando ele; ela; você [ quiser ]
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Até amanhã, se Deus quiser!
Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida ou desejo