As duas formas – rio e riu – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Se a sua dúvida é referente ao curso por onde passa água doce continuamente então é escrito com a vogal “o”.
Rio, tal como indicado, e como substantivo significa curso por onde passa água doce continuamente.
As partes de um rio mais conhecidas são a nascente, leito e foz.
Formas verbais
Ambas as palavras rio e riu são formas verbais do verbo rir, respectivamente a primeira pessoa do presente do indicativo do verbo e a terceira pessoa do singular do pretérito perfeito do indicativo do verbo.
eu [ rio ]
Eu rio por fora e rio ainda mais por dentro.
Eu rio-me durante uma hora inteira por causa de uma das suas piadas estúpidas.
ele, ela, você [ riu ]
E aí, você riu também, né?
Ela riu tanto que eu vi o céu da sua boca.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado