As duas formas – sem e cem – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Sem é uma proposição que indicativa de carência ou ausência; referente a não possuir, não ter.
Estou sem dinheiro!
Sabia que uma em cada duas pessoas diz ser incapaz de viver sem smartphone?
Expressões usuais:
sem que :: designativa de exclusão
sem demora :: imediatamente
sem mais :: introduz frase final de carta, requerimento
sem mais nem menos :: sem motivo, sem razão
sem pé nem cabeça :: sem sentido; doido, desvairado.
sem quê nem para quê :: sem motivos
Cem significa número equivalente a dez dezenas; cardinalidade de um conjunto que contenha uma centena de elementos distintos; representado pelo símbolo 100.
Já disse isso umas cem vezes.
Perdemos a nossa última batalha naval há cem anos atrás.
Referências
São palavras homófonas: som igual, grafia e significado diferente.
Sem advém do latim sine.
Cem é a forma apocopada de cento.