As duas formas – vassoura e vassoira – existem na Língua Portuguesa e têm o mesmo significado; “bassoura” está incorreto – é chamado de “betacismo”.
Vassoura ou vassoira significa o utensílio para varrer o lixo feito de ramos, giestas, piaçaba, etc.
A seguir, varrer a superfície com uma vassoura de rodovias.
O desenho angular desta vassoira facilita o acesso às zonas estreitas.
Na Língua Portuguesa os ditongos oi e ou podem, em muitos casos, serem usados para a mesma palavra mantendo exatamente o mesmo significado.
Estouro :: Estoiro
Besouro :: Besoiro
Louro :: Loiro
Ouro :: Oiro
Neste caso em particular, o termo vassoura é mais usual que vassoira.
Bassoura, como referido, não está correto. No entanto, alguns dicionários registam este termo apontando-o como forma informal ou variante popular. Resulta pelo dito “betacismo” – fenômeno linguístico que consiste na troca da pronúncia dos sons “v” por “b”.
Referências
Vassoura advém do latim versoria.