As duas formas – viveram e viverão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo viver, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Viveram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ viveram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Nesta terra viveram mouros, judeus e cristãos.
Elas revelam experiências assustadoras que viveram.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Viverão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ viverão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Os filhos viverão pior do que os pais.
Entrarão no eterno Reino do Céu e viverão felizes eternamente.