As duas formas – produziram e produzirão – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo produzir, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.

Produziram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ produziram ]

« relativo a uma situação passada ou concluída »

Em que época elas produziram essas obra?
Juntos, eles produziram um forte impacto sobre a população de toda aquela região.

Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado

Produzirão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ produzirão ]

« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »

Em breve se produzirão pneus renováveis.
Até o final do curso os alunos produzirão três textos para formar um pequeno portefólio.