As duas formas – caem e caiem – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Se a dúvida é referente ao ato de cair então é escrito caem, sem a vogal “i”. No entanto, é conveniente referir que “caiem” também existe.
Caem é uma forma verbal do verbo cair, nomeadamente a terceira pessoa do plural do presente do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ caem ]
As primeiras chuvas caem nas planícies do oeste, no Pará e no Maranhão.
As construções que não caem nos primeiros cinco minutos não cairão nos seguintes quinhentos anos!
Caiem é uma forma verbal do verbo caiar, nomeadamente a terceira pessoa do plural do presente do conjuntivo e a terceira pessoa do plural do imperativo do verbo.
que eles; elas; vocês [ caiem ]; [ caiem ] eles; elas; vocês
Caiem vocês que a casa é vossa!
Que eles caiem a pele com cosméticos de péssima qualidade é com eles, eu avisei prós problemas.
Obs: caiar significa pintar com cal diluída em água; branquear (a pele) com cosméticos.