As duas formas chegaste e chegas-te existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo chegar mas empregues em diferentes modos e com distintas pronúncias.
Chegaste é a segunda pessoa do singular do pretérito perfeito do modo indicativo do verbo.
tu [ chegaste ]
Nem chegaste a conhecer o Clyde.
Era suposto teres-me ligado quando chegaste.
Quando é que chegaste á cidade?
Chegaste mesmo na altura certa!
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
verbo chegar = aproximar, mover para perto; pôr perto de, colocar perto de; vir, regressar
A forma chegas-te é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “te”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica ( tu ).
Se houver problemas, chegas-te à frente?
Rod, chegas-te para o lado?