As duas formas – dai-me e dá-me – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, têm o mesmo sentido mas referentes a pessoas gramaticalmente diferentes.
Basicamente estamos a solicitar algo, de alguém – “que me dê”; pelo que também devemos estender esta dúvida a “dê-me”.
Dai-me é usado na segunda pessoa do plural (dai-me eles; elas; vós).
Dai-me paz e tranquilidade.
Dá-me é usado na segunda pessoa do singular (dá-me tu).
Dá-me a mão.
Dê-me é usado na terceira do singular (dê-me ele; ela; você).
Dê-me, ao menos, esta honra.
Podemos usar, apesar de ser menos usual, “me dai”, “me dá” ou “me dê” desde que não seja no início da frase uma vez que “me” é um pronome oblíquo tal como lhe, nos e te.
No entanto, em linguagem do dia a dia dizemos “me liga”; “te amo” etc. – é apenas uma nota técnica.
Deus me dê forças.
No Brasil a forma mais comum parece ser “dê-me”; em Portugal “dai-me” e “dá-me”.