As duas formas espalharam e espalharão existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo espalhar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Espalharam é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ espalharam ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Imagens das alegações rapidamente se espalharam pela internet.
Eles espalharam mentiras sobre meu marido.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Espalharão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ espalharão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Palavras sobre essas ações se espalharão para sempre.
Sei que seus homens espalharão o Evangelho por todo o continente.