As duas formas – extinguiram e extinguirão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo extinguir, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Extinguiram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ extinguiram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Eles se extinguiram há 50.000 anos atrás.
Os bombeiros rapidamente extinguiram as chamas.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Extinguirão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ extinguirão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Acredito que, um dia, passaportes se extinguirão.
Prestadores abaixo do padrão, extinguirão gradualmente suas linhas de serviço.