As duas formas inspiraste e inspiras-te existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo inspirar mas empregues em diferentes modos e com distintas pronúncias.
Inspiraste é a segunda pessoa do singular do pretérito perfeito do modo indicativo do verbo.
tu [ inspiraste ]
É um poema que me inspiraste a escrever.
Tu inspiraste o povo.
Já inspiraste óxido nitroso?
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
verbo inspirar = dar inspiração; introduzir o ar nos pulmões; sugerir
A forma inspiras-te é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “te”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica ( tu ).
Tu inspiras-te na tua experiência de vida.
Quando escreves.. inspiras-te em quê?