As duas formas mesa e meça estão corretas, contudo seus significados são diferentes.

Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.

Mesa, com a letra “s”, significa móvel usado como superfície para se alimentar, conversar, estudar; távola. Diz-se igualmente do conjunto de objetos colocados sob a mesa móvel durante uma refeição.

Quero estar à mesa quando eles descerem.
Tire alguma dessa tralha da mesa.

Meça é uma forma verbal referente ao verbo medir – primeira e terceira pessoa do singular do presente do subjuntivo e a terceira pessoa do singular do imperativo do verbo.

que eu [ meça ], que ele; ela; você [ meça ], [ meça ] ele; ela; você

Como propõe que se meça o desempenho dos alunos?
Aguarde que o Apple Watch meça o seu ritmo cardíaco.


Referências

Mesa advém do latim mensa.
Meça advém do verbo medir.