As duas formas – motivaram e motivarão – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo motivar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.

Motivaram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ motivaram ]

« relativo a uma situação passada ou concluída »

Os pais motivaram os filhos a estudar.
Foi o orgulho e a ambição que motivaram esta atitude.

Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado

Motivarão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ motivarão ]

« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »

Novas oportunidades motivarão o crescimento.
Alguns ganhos motivarão a luta por um acordo melhor.