As duas formas – podemos e pudemos – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo poder, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.

Importante: O âmbito desta dúvida é referente ao verbo “poder”. Convém, no entanto referir que “podemos” é também uma forma verbal do verbo podar (ver abaixo)

Podemos é uma forma verbal do verbo poder, nomeadamente a primeira pessoa do plural do presente do indicativo do verbo.

nós [ podemos ]

Nós podemos fazer frente à doença!
Quando nos sentimos injustiçados, não nos podemos calar.

Obs:
presente do indicativo = referente ao presente, que está ocorrendo no momento ou que não dependem de um tempo específico

Pudemos é uma forma verbal do verbo poder, nomeadamente a primeira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo do verbo.

nós [ pudemos ]

Com efeito, na semana passada, todos nós pudemos ver na televisão as imagens do acidente.
Naquele momento pudemos invocar os santos de todos os séculos.

Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado


Presente vs Passado

Nós podemos verificar que isso é verdade :: presente; estamos a verificar agora
Nós pudemos verificar que isso é verdade :: passado; verificamos isso em outra altura “para trás”


Podemos do verbo podar?

A dúvida em causa, já como salientado, é referente ao verbo “poder”. Devemos no entanto assinalar que podemos é (também) uma forma verbal do verbo podar, nomeadamente a primeira pessoa do plural do presente do conjuntivo e a primeira pessoa do plural do imperativo do verbo.

que nós [ podemos ], [ podemos ] nós