As duas formas – elegeram e elegerão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo eleger, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Elegeram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ elegeram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Foram as pessoas que me elegeram!
Elegeram este disco como o melhor do ano passado.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Elegerão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ elegerão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Talvez me elegerão Rei do Baile.
Em breve, elegerão um Governo constitucional.